В Бруклине, в математической школе для одарённых детей шёл урок алгебры. Это был класс учеников выше среднего уровня во всех отношениях — как в смысле их возраста, так и в смысле их прогресса в освоении наук. У мальчиков начинал ломаться голос, девочки начинали брить подмышки, и все они шагнули в постижении математики так далеко, что наизусть знали таблицу умножения до четырёх. Теперь они с упоением погружались в холодные глубины алгебры. Они уже усвоили, что если a = b, то b = a, и это придавало им чувство избранности и приближения к абсолютной истине. Учитель был полноватый, средних лет мужчина с матовой плешью, грустными бесцветными глазами и тяжёлым русским акцентом. Он страстно любил математику и надеялся, что эта страсть передастся кому-нибудь из его одарённых недоумков. Ученики почтительно называли его мистер Зайтлайн, а друзья запросто — Борька Цейтлин (о чём ученики, разумеется, не знали).
К середине урока, когда мальчикам надоело играть в морской бой, а девочкам надоело красить ногти, учитель неожиданно сказал нечто такое, что привлекло их внимание.
— Сейчас, — сказал учитель, — я вам докажу, что два равно одному.
Класс затих, и учитель, воспользовавшись паузой, добавил:
— Тот, кто найдёт ошибку в моём доказательстве, получит "А".
Класс молчал, напуганный неожиданным вызовом. В наступившей тишине раздался писклявый голос отличницы Брехман:
— Мистер Зайтлайн, по-моему, два не равно одному. Два больше.
— Правильно, — сказал учитель. — Отличное наблюдение. Два действительно больше, чем один. Но вы должны это доказать, то есть опровергнуть моё доказательство. Понятно? Итак, начнём. Для начала, предположим, что "а" равно "бэ".
Он повернулся к доске и написал: а = b.
— Откуда вы знаете? — раздался с задней парты ломающийся голос отличника Гойскера.
— Откуда я знаю что?
— Что "а" равно "бэ".
— Прекрасный вопрос, — кисло сказал учитель. — Я не знаю. Но я допустил. Если вы заметили, я сказал: предположим, что "а" равно "бэ".
— Предположим, что директора на завуча положим, — сказал отличник Рабунский, обводя класс победным взором.
Класс взорвался от хохота. Директор школы был пожилой мужчина, завуч — молодая женщина, так что класс по достоинству оценил остроту Рабунского.
Дождавшись, когда ученики успокоятся, учитель продолжал:
— Умножаем обе части уравнения на "а". Получается...
Он написал: a x a = a х b, то есть a2 = ab. Класс молчал.
— Отнимаем от обеих частей уравнения "бэ"-квадрат, — сказал учитель и написал: a2 — b2 = ab — b2. Класс молчал.
— А теперь... — сказал учитель, не в силах сдержать счастливой улыбки, — кто может сказать, что мы теперь делаем?
— Идём домой смотреть хоккей, — сказал отличник Рабунский. — Он явно был сегодня в ударе.
— Правильно, — сказал учитель. — Но не сейчас. До конца урока ещё пятнадцать минут. А пока продолжим доказательство. Что у нас в левой части уравнения? Разность квадратов члена "а" и члена "бэ", правильно? Чему равна разность квадратов? Она равна произведению суммы членов на их разность. А что в правой части? Общий множитель "бэ", который мы выносим за скобки. Преобразуем уравнение. Получается...
Он написал: (a + b) (a — b) = b (a — b).
— Понятно?
— Понятно, сказал остряк Рабунский. — Линда Брехман любит сумму членов Алана и Боба.
Класс потряс новый взрыв ликования. Учитель понял, что на этот раз не дождётся тишины. В его распоряжении оставалось шесть минут.
— Сокращаем обе части уравнения на "а" минус "бэ", — прокричал он, перекрывая ликующий гогот. — Получается...
Он написал: a + b = b.
Гогот не стихал. Учитель продолжал писать, одновременно выкрикивая:
— Так как "а" и "бэ" равны, заменяем в левой части "а" на "бэ". Получатся...
Он написал: b + b = b, то есть 2b = b.
— Сокращаем на "бэ". Получается: 2 = 1.
Последнюю строчку, стуча мелом по доске, он написал крупными цифрами и подчеркнул. Класс замолк, испуганно глядя на доску. Даже хулиган Рабунский на время притих. Учитель сказал, не скрывая своего торжества:
— Ну, кто может найти ошибку в доказательстве?
Отличница Линда Брехман подняла руку и сказала:
— Я знаю, где ошибка. Ошибка заключается в том, что на самом деле два не равно одному.
Учитель погрустнел.
— Правильно, Линда — сказал он со вздохом. — Ты это уже говорила. Конечно, они не равны. Значит, в моём доказательстве есть ошибка. И вы должны её найти.
В разговор неожиданно вмешался отличник Гойскер:
— Мистер Зайтлайн, если в доказательстве есть ошибка, зачем вы нам его показываете? Мы пришли сюда учить правильную математику, а не ошибочную.
— Замечательная мысль, — сказал учитель. — Это такое упражнение. Шутка. Если вы найдёте ошибку, вы будете знать, как её избежать в вашей дальнейшей жизни.
Прозвенел звонок, и ученики ринулись на выход. В классе осталась одна отличница Брехман.
— Мистер Зайтлайн, — сказала она, подойдя к учителю, — это очень странно, что два равно одному. Это правда шутка?
— Правда.
— А в чём ошибка вашего доказательства? В том, что на самом деле "а" и "бэ" не равны?
— Равны, равны, — сказал учитель, собирая портфель.
— Тогда в чём ошибка? Скажите по секрету, мистер Зайтлайн. Я никому не скажу, что вы мне сказали.
— Не могу, Линда. Это будет нечестно по отношению к остальным ученикам.
— Ну, пожалуйста, мистер Зайтлайн! Я же никому не скажу!
— Извини, Линда, не могу.
— Какой вы вредный! — сквозь слёзы пропищала отличница Брехман. — Я на вас пожалуюсь моему папе.
Она выскочила из класса, демонстративно хлопнув дверью.
Следующий день прошёл спокойно. Ни учитель, ни отличники не вспоминали о вчерашней коварной теореме. В конце дня учителя вызвал директор школы.
— Привет, Борис, присаживайся, — сказал он. — Слушай, что у тебя вчера произошло в классе? Мне звонили несколько обеспокоенных родителей. Они говорят, что ты травмируешь детей.
— Вчера? — переспросил учитель, пытаясь вспомнить, что такого страшного он вчера натворил. — А, да! Я им доказал, что два равно одному.
— Ты с ума сошёл! — испугался директор. — Как можно такие вещи доказывать несовершеннолетним детям! Ведь на самом деле два гораздо больше, чем один!
— Я знаю, что больше. Это была шутка. Я хотел проверить их знания основ математики.
— Ты им сказал, что это шутка?
— Сказал.
— Ну, тогда ладно, — директор с облегчением перевёл дух. — Ты смотри, будь осторожен. А то нас засудят.
Прошло ещё две недели, и опасная математическая шутка была окончательно забыта. Никто из отличников (а все ученики этой школы были отличниками) не вспомнил о ней и не попытался её разоблачить, чтобы получить "А". На третью неделю учителя снова вызвал директор школы. Он был мрачен, как похоронное бюро. Закрыв дверь кабинета, он предложил учителю сесть и швырнул перед ним письмо на плотной, палевого цвета бумаге. Письмо было из местной юридической фирмы "Оркин, Соркин и Дворкин". Оно гласило:
"Наша компания представляет интересы родителей учеников вашей школы. В связи с инцидентом, произошедшим недавно в седьмом классе на уроке математики, мы бы хотели встретиться с учителем, мистером Зайтлайном, чтобы получить его показания о вышеупомянутом инциденте. Вы можете назначить день и время встречи. Искренне ваш — А.Оркин".
Мистер Оркин явился на следующий день после окончания уроков. Его сопровождали Соркин, Дворкин и две секретарши. Интервью проходило в кабинете директора. Вопросы задавал самый молодой, мистер Дворкин. Остальные молча записывали. Для начала мистер Дворкин уточнил имя, фамилию, адрес и год рождения учителя. Затем он сказал:
— Мистер Зайтлайн, повторите, пожалуйста, что вы объявили ученикам на уроке математики пятого октября?
— Что два равно одному.
— Известно ли вам, что на самом деле два не равно одному?
— Почему вы так думаете?
— Мистер Зайтлайн, позвольте, я буду задавать вопросы. Признаёте ли вы, что преднамеренно ввели своих учеников в заблуждение?
— Я их никуда не вводил. Я просто доказал, что два равно одному.
— Каким образом вы это доказали?
Учитель взял лист бумаги и в течение минуты повторил злосчастную теорему. Под конец он лихо сократил обе части уравнения на "бэ", написал 2 = 1 и, не моргнув глазом, подчеркнул эту непристойность. Три юриста и две секретарши тщательно переписали бесстыжие выкладки учителя. Воцарилось тяжёлое молчание.
— Это шутка, — сказал учитель. — Это, как бы, упражнение. В моём доказательстве содержится ошибка, которую ученики должны были найти.
Адвокаты молчали, не глядя друг на друга.
— Я могу объяснить, в чём она заключается, — заискивающе сказал учитель.
— Не надо, — сказал мистер Дворкин. — Ученики задавали вам вопросы?
— Да. Гойскер спросил, откуда я знаю, что "а" равно "бэ".
— Что вы на это ответили?
— Что это моё предположение.
— Так. На чём оно было основано?
— Что — "оно"?
— Ваше предположение. Какие у вас были основания предполагать, что "а" равно "бэ"?
Учитель с мольбой посмотрел на директора. Директор отвернулся к окну и стал глядеть во двор, откуда неслись счастливые вопли отличников, играющих в софтбол.
— Продолжим, — сказал мистер Дворкин. — Как отреагировали ученики на ваше безосновательное предположение, за которым, как и ожидалось, последовало ошибочное доказательство?
— Рабунский сказал: предположим, что директора на завуча положим.
Директор заёрзал на стуле и сказал:
— Мои отношения с миссис Лифшиц являются чисто деловыми и основываются исключительно на интересах школы и её учащихся. Высокое качество образования, которое...
— Хорошо, — сказал мистер Дворкин. — Что ещё говорили ученики?
— Ещё Рабунский сказал, что Линда Брехман любит сумму членов Алана и Боба.
Две секретарши ниже склонились к своим блокнотам.
— Понятно, — сказал мистер Дворкин. — Реакция класса показывает, что дети были травмированы вашим безответственным доказательством. Родители учеников рассказали, что в этот день дети пришли из школы в подавленном состоянии, бледные, весь вечер плохо ели и долго не ложились спать. Многим родителям пришлось обратиться к помощи психологов и психиатров. Что вы можете на
К середине урока, когда мальчикам надоело играть в морской бой, а девочкам надоело красить ногти, учитель неожиданно сказал нечто такое, что привлекло их внимание.
— Сейчас, — сказал учитель, — я вам докажу, что два равно одному.
Класс затих, и учитель, воспользовавшись паузой, добавил:
— Тот, кто найдёт ошибку в моём доказательстве, получит "А".
Класс молчал, напуганный неожиданным вызовом. В наступившей тишине раздался писклявый голос отличницы Брехман:
— Мистер Зайтлайн, по-моему, два не равно одному. Два больше.
— Правильно, — сказал учитель. — Отличное наблюдение. Два действительно больше, чем один. Но вы должны это доказать, то есть опровергнуть моё доказательство. Понятно? Итак, начнём. Для начала, предположим, что "а" равно "бэ".
Он повернулся к доске и написал: а = b.
— Откуда вы знаете? — раздался с задней парты ломающийся голос отличника Гойскера.
— Откуда я знаю что?
— Что "а" равно "бэ".
— Прекрасный вопрос, — кисло сказал учитель. — Я не знаю. Но я допустил. Если вы заметили, я сказал: предположим, что "а" равно "бэ".
— Предположим, что директора на завуча положим, — сказал отличник Рабунский, обводя класс победным взором.
Класс взорвался от хохота. Директор школы был пожилой мужчина, завуч — молодая женщина, так что класс по достоинству оценил остроту Рабунского.
Дождавшись, когда ученики успокоятся, учитель продолжал:
— Умножаем обе части уравнения на "а". Получается...
Он написал: a x a = a х b, то есть a2 = ab. Класс молчал.
— Отнимаем от обеих частей уравнения "бэ"-квадрат, — сказал учитель и написал: a2 — b2 = ab — b2. Класс молчал.
— А теперь... — сказал учитель, не в силах сдержать счастливой улыбки, — кто может сказать, что мы теперь делаем?
— Идём домой смотреть хоккей, — сказал отличник Рабунский. — Он явно был сегодня в ударе.
— Правильно, — сказал учитель. — Но не сейчас. До конца урока ещё пятнадцать минут. А пока продолжим доказательство. Что у нас в левой части уравнения? Разность квадратов члена "а" и члена "бэ", правильно? Чему равна разность квадратов? Она равна произведению суммы членов на их разность. А что в правой части? Общий множитель "бэ", который мы выносим за скобки. Преобразуем уравнение. Получается...
Он написал: (a + b) (a — b) = b (a — b).
— Понятно?
— Понятно, сказал остряк Рабунский. — Линда Брехман любит сумму членов Алана и Боба.
Класс потряс новый взрыв ликования. Учитель понял, что на этот раз не дождётся тишины. В его распоряжении оставалось шесть минут.
— Сокращаем обе части уравнения на "а" минус "бэ", — прокричал он, перекрывая ликующий гогот. — Получается...
Он написал: a + b = b.
Гогот не стихал. Учитель продолжал писать, одновременно выкрикивая:
— Так как "а" и "бэ" равны, заменяем в левой части "а" на "бэ". Получатся...
Он написал: b + b = b, то есть 2b = b.
— Сокращаем на "бэ". Получается: 2 = 1.
Последнюю строчку, стуча мелом по доске, он написал крупными цифрами и подчеркнул. Класс замолк, испуганно глядя на доску. Даже хулиган Рабунский на время притих. Учитель сказал, не скрывая своего торжества:
— Ну, кто может найти ошибку в доказательстве?
Отличница Линда Брехман подняла руку и сказала:
— Я знаю, где ошибка. Ошибка заключается в том, что на самом деле два не равно одному.
Учитель погрустнел.
— Правильно, Линда — сказал он со вздохом. — Ты это уже говорила. Конечно, они не равны. Значит, в моём доказательстве есть ошибка. И вы должны её найти.
В разговор неожиданно вмешался отличник Гойскер:
— Мистер Зайтлайн, если в доказательстве есть ошибка, зачем вы нам его показываете? Мы пришли сюда учить правильную математику, а не ошибочную.
— Замечательная мысль, — сказал учитель. — Это такое упражнение. Шутка. Если вы найдёте ошибку, вы будете знать, как её избежать в вашей дальнейшей жизни.
Прозвенел звонок, и ученики ринулись на выход. В классе осталась одна отличница Брехман.
— Мистер Зайтлайн, — сказала она, подойдя к учителю, — это очень странно, что два равно одному. Это правда шутка?
— Правда.
— А в чём ошибка вашего доказательства? В том, что на самом деле "а" и "бэ" не равны?
— Равны, равны, — сказал учитель, собирая портфель.
— Тогда в чём ошибка? Скажите по секрету, мистер Зайтлайн. Я никому не скажу, что вы мне сказали.
— Не могу, Линда. Это будет нечестно по отношению к остальным ученикам.
— Ну, пожалуйста, мистер Зайтлайн! Я же никому не скажу!
— Извини, Линда, не могу.
— Какой вы вредный! — сквозь слёзы пропищала отличница Брехман. — Я на вас пожалуюсь моему папе.
Она выскочила из класса, демонстративно хлопнув дверью.
Следующий день прошёл спокойно. Ни учитель, ни отличники не вспоминали о вчерашней коварной теореме. В конце дня учителя вызвал директор школы.
— Привет, Борис, присаживайся, — сказал он. — Слушай, что у тебя вчера произошло в классе? Мне звонили несколько обеспокоенных родителей. Они говорят, что ты травмируешь детей.
— Вчера? — переспросил учитель, пытаясь вспомнить, что такого страшного он вчера натворил. — А, да! Я им доказал, что два равно одному.
— Ты с ума сошёл! — испугался директор. — Как можно такие вещи доказывать несовершеннолетним детям! Ведь на самом деле два гораздо больше, чем один!
— Я знаю, что больше. Это была шутка. Я хотел проверить их знания основ математики.
— Ты им сказал, что это шутка?
— Сказал.
— Ну, тогда ладно, — директор с облегчением перевёл дух. — Ты смотри, будь осторожен. А то нас засудят.
Прошло ещё две недели, и опасная математическая шутка была окончательно забыта. Никто из отличников (а все ученики этой школы были отличниками) не вспомнил о ней и не попытался её разоблачить, чтобы получить "А". На третью неделю учителя снова вызвал директор школы. Он был мрачен, как похоронное бюро. Закрыв дверь кабинета, он предложил учителю сесть и швырнул перед ним письмо на плотной, палевого цвета бумаге. Письмо было из местной юридической фирмы "Оркин, Соркин и Дворкин". Оно гласило:
"Наша компания представляет интересы родителей учеников вашей школы. В связи с инцидентом, произошедшим недавно в седьмом классе на уроке математики, мы бы хотели встретиться с учителем, мистером Зайтлайном, чтобы получить его показания о вышеупомянутом инциденте. Вы можете назначить день и время встречи. Искренне ваш — А.Оркин".
Мистер Оркин явился на следующий день после окончания уроков. Его сопровождали Соркин, Дворкин и две секретарши. Интервью проходило в кабинете директора. Вопросы задавал самый молодой, мистер Дворкин. Остальные молча записывали. Для начала мистер Дворкин уточнил имя, фамилию, адрес и год рождения учителя. Затем он сказал:
— Мистер Зайтлайн, повторите, пожалуйста, что вы объявили ученикам на уроке математики пятого октября?
— Что два равно одному.
— Известно ли вам, что на самом деле два не равно одному?
— Почему вы так думаете?
— Мистер Зайтлайн, позвольте, я буду задавать вопросы. Признаёте ли вы, что преднамеренно ввели своих учеников в заблуждение?
— Я их никуда не вводил. Я просто доказал, что два равно одному.
— Каким образом вы это доказали?
Учитель взял лист бумаги и в течение минуты повторил злосчастную теорему. Под конец он лихо сократил обе части уравнения на "бэ", написал 2 = 1 и, не моргнув глазом, подчеркнул эту непристойность. Три юриста и две секретарши тщательно переписали бесстыжие выкладки учителя. Воцарилось тяжёлое молчание.
— Это шутка, — сказал учитель. — Это, как бы, упражнение. В моём доказательстве содержится ошибка, которую ученики должны были найти.
Адвокаты молчали, не глядя друг на друга.
— Я могу объяснить, в чём она заключается, — заискивающе сказал учитель.
— Не надо, — сказал мистер Дворкин. — Ученики задавали вам вопросы?
— Да. Гойскер спросил, откуда я знаю, что "а" равно "бэ".
— Что вы на это ответили?
— Что это моё предположение.
— Так. На чём оно было основано?
— Что — "оно"?
— Ваше предположение. Какие у вас были основания предполагать, что "а" равно "бэ"?
Учитель с мольбой посмотрел на директора. Директор отвернулся к окну и стал глядеть во двор, откуда неслись счастливые вопли отличников, играющих в софтбол.
— Продолжим, — сказал мистер Дворкин. — Как отреагировали ученики на ваше безосновательное предположение, за которым, как и ожидалось, последовало ошибочное доказательство?
— Рабунский сказал: предположим, что директора на завуча положим.
Директор заёрзал на стуле и сказал:
— Мои отношения с миссис Лифшиц являются чисто деловыми и основываются исключительно на интересах школы и её учащихся. Высокое качество образования, которое...
— Хорошо, — сказал мистер Дворкин. — Что ещё говорили ученики?
— Ещё Рабунский сказал, что Линда Брехман любит сумму членов Алана и Боба.
Две секретарши ниже склонились к своим блокнотам.
— Понятно, — сказал мистер Дворкин. — Реакция класса показывает, что дети были травмированы вашим безответственным доказательством. Родители учеников рассказали, что в этот день дети пришли из школы в подавленном состоянии, бледные, весь вечер плохо ели и долго не ложились спать. Многим родителям пришлось обратиться к помощи психологов и психиатров. Что вы можете на
In Brooklyn, at a mathematics school for gifted children, there was an algebra lesson. This was a class of students above the average level in all respects - both in terms of their age, and in the sense of their progress in mastering the sciences. The boys began to break their voices, the girls began to shave their armpits, and they all stepped so far in comprehension of mathematics that they knew by heart the multiplication table to four. Now they delightedly plunged into the cold depths of algebra. They have already learned that if a = b, then b = a, and this gave them a sense of being chosen and approaching absolute truth. The teacher was a plump, middle-aged man with a matte bald patch, sad colorless eyes and a heavy Russian accent. He passionately loved mathematics and hoped that this passion would pass on to one of his gifted idiots. The students respectfully called him Mr. Zaitlein, and his friends easily called Borka Zeitlin (of which the students, of course, did not know).
By the middle of the lesson, when the boys were tired of playing the sea battle, and the girls were tired of painting their nails, the teacher suddenly said something that caught their attention.
“Now,” said the teacher, “I will prove to you that two is equal to one.”
The class fell silent, and the teacher, taking advantage of the pause, added:
- Anyone who finds a mistake in my proof will receive an “A”.
The class was silent, frightened by an unexpected challenge. In the ensuing silence came the squeaky voice of excellent student Brechman:
- Mr. Zaytlayn, in my opinion, two is not equal to one. Two more.
“That's right,” said the teacher. - Great observation. Two are really more than one. But you have to prove it, that is, to refute my proof. Clear? So, let's begin. For starters, suppose a is equal to be.
He turned to the blackboard and wrote: a = b.
- How do you know? - the voice of the excellent pupil of Goisker rang out from the rear desk.
“How do I know what?”
- That "a" is equal to "be".
“Fine question,” the teacher said sourly. - I dont know. But I admitted. If you notice, I said: suppose "a" is equal to "be".
“Suppose we put the director on the head teacher,” said excellent pupil Rabunsky, looking around the class with a triumphant glance.
The class exploded with laughter. The school principal was an elderly man, the head teacher was a young woman, so the class appreciated the sharpness of Rabunsky.
After waiting for the students to calm down, the teacher continued:
- Multiply both sides of the equation by "a". It turns out ...
He wrote: a x a = a x b, i.e. a2 = ab. The class was silent.
“We subtract the be-square from both sides of the equation,” the teacher said and wrote: a2 - b2 = ab - b2. The class was silent.
“And now ...” said the teacher, unable to restrain a happy smile, “who can say what we are doing now?”
“We’re going home to watch hockey,” said Rabunsky, an excellent pupil. - He was clearly in shock today.
“That's right,” said the teacher. - But not now. Fifteen more minutes before the end of the lesson. In the meantime, we continue the proof. What do we have on the left side of the equation? The difference between the squares of the member "a" and the member "be", right? What is the difference in squares? It is equal to the product of the sum of the members by their difference. And what's on the right side? The common factor is "be", which we put out of brackets. Transform the equation. It turns out ...
He wrote: (a + b) (a - b) = b (a - b).
- Clear?
“I see,” said the wise Rabunsky. - Linda Brehman loves the sum of the members of Alan and Bob.
The class shook a new burst of glee. Teacher realized that this time did not wait for silence. He had six minutes left.
“Reduce both sides of the equation by a and minus be,” he shouted, blocking the gleeful gossip. - It turns out ...
He wrote: a + b = b.
Gogot did not subside. Master continued to write, while shouting:
- Since "a" and "be" are equal, we replace in the left part of "a" with "be". It will turn out ...
He wrote: b + b = b, i.e. 2b = b.
- Reduce by be. It turns out: 2 = 1.
He wrote the last line, chalking on the blackboard, in large numbers and emphasized. The class fell silent, looking fearfully at the board. Even the hooligan of Rabunsky was quiet for a while. Teacher said, not hiding his triumph:
“Well, who can find a mistake in the proof?”
The excellent student Linda Brehman raised her hand and said:
“I know where the mistake is.” The mistake is that actually two is not equal to one.
The teacher became sad.
“That's right, Linda,” he said with a sigh. “You already said that.” Of course, they are not equal. So there is a mistake in my proof. And you have to find her.
Goisker, an excellent student, unexpectedly intervened in the conversation:
“Mr. Zaitline, if there is a mistake in the proof, why are you showing it to us?” We came here to learn the correct math, not the erroneous one.
“Great thought,” said the teacher. - This is such an exercise. Joke. If you find a mistake, you will know how to avoid it in your future life.
The bell rang, and the students rushed to the exit. In the class there was one excellent student Brekhman.
“Mr. Zaytlayn,” she said, going to the teacher, “it is very strange that two equals one.” Is this really a joke?
- Truth.
“What is the error of your proof?” In fact, that "a
By the middle of the lesson, when the boys were tired of playing the sea battle, and the girls were tired of painting their nails, the teacher suddenly said something that caught their attention.
“Now,” said the teacher, “I will prove to you that two is equal to one.”
The class fell silent, and the teacher, taking advantage of the pause, added:
- Anyone who finds a mistake in my proof will receive an “A”.
The class was silent, frightened by an unexpected challenge. In the ensuing silence came the squeaky voice of excellent student Brechman:
- Mr. Zaytlayn, in my opinion, two is not equal to one. Two more.
“That's right,” said the teacher. - Great observation. Two are really more than one. But you have to prove it, that is, to refute my proof. Clear? So, let's begin. For starters, suppose a is equal to be.
He turned to the blackboard and wrote: a = b.
- How do you know? - the voice of the excellent pupil of Goisker rang out from the rear desk.
“How do I know what?”
- That "a" is equal to "be".
“Fine question,” the teacher said sourly. - I dont know. But I admitted. If you notice, I said: suppose "a" is equal to "be".
“Suppose we put the director on the head teacher,” said excellent pupil Rabunsky, looking around the class with a triumphant glance.
The class exploded with laughter. The school principal was an elderly man, the head teacher was a young woman, so the class appreciated the sharpness of Rabunsky.
After waiting for the students to calm down, the teacher continued:
- Multiply both sides of the equation by "a". It turns out ...
He wrote: a x a = a x b, i.e. a2 = ab. The class was silent.
“We subtract the be-square from both sides of the equation,” the teacher said and wrote: a2 - b2 = ab - b2. The class was silent.
“And now ...” said the teacher, unable to restrain a happy smile, “who can say what we are doing now?”
“We’re going home to watch hockey,” said Rabunsky, an excellent pupil. - He was clearly in shock today.
“That's right,” said the teacher. - But not now. Fifteen more minutes before the end of the lesson. In the meantime, we continue the proof. What do we have on the left side of the equation? The difference between the squares of the member "a" and the member "be", right? What is the difference in squares? It is equal to the product of the sum of the members by their difference. And what's on the right side? The common factor is "be", which we put out of brackets. Transform the equation. It turns out ...
He wrote: (a + b) (a - b) = b (a - b).
- Clear?
“I see,” said the wise Rabunsky. - Linda Brehman loves the sum of the members of Alan and Bob.
The class shook a new burst of glee. Teacher realized that this time did not wait for silence. He had six minutes left.
“Reduce both sides of the equation by a and minus be,” he shouted, blocking the gleeful gossip. - It turns out ...
He wrote: a + b = b.
Gogot did not subside. Master continued to write, while shouting:
- Since "a" and "be" are equal, we replace in the left part of "a" with "be". It will turn out ...
He wrote: b + b = b, i.e. 2b = b.
- Reduce by be. It turns out: 2 = 1.
He wrote the last line, chalking on the blackboard, in large numbers and emphasized. The class fell silent, looking fearfully at the board. Even the hooligan of Rabunsky was quiet for a while. Teacher said, not hiding his triumph:
“Well, who can find a mistake in the proof?”
The excellent student Linda Brehman raised her hand and said:
“I know where the mistake is.” The mistake is that actually two is not equal to one.
The teacher became sad.
“That's right, Linda,” he said with a sigh. “You already said that.” Of course, they are not equal. So there is a mistake in my proof. And you have to find her.
Goisker, an excellent student, unexpectedly intervened in the conversation:
“Mr. Zaitline, if there is a mistake in the proof, why are you showing it to us?” We came here to learn the correct math, not the erroneous one.
“Great thought,” said the teacher. - This is such an exercise. Joke. If you find a mistake, you will know how to avoid it in your future life.
The bell rang, and the students rushed to the exit. In the class there was one excellent student Brekhman.
“Mr. Zaytlayn,” she said, going to the teacher, “it is very strange that two equals one.” Is this really a joke?
- Truth.
“What is the error of your proof?” In fact, that "a
У записи 2 лайков,
1 репостов.
1 репостов.
Эту запись оставил(а) на своей стене Максим Жерновой
