UPD: Brouwer's choice sequences. Или по крайней мере близко.
Я окончательно (шучу, промежуточно) ебанулся на почве уточнения терминов. Сначала даже показалось, что удалось перечислить вещественные числа — но, разумеется, показалось. Удалось же показать категорическую разницу между рациональными и иррациональными числами в стиле мультивёрса, аки у Талеба с его птичками.
Определим число как слово в языке, задаваемом грамматикой:
S -> D.D
D -> DD | t
где . — "десятичная" точка, отделяющая целую часть от дробной, t — терминальный символ (цифра), а само число интерпретируется как записанное в позиционной СС с основанием |t| (то бишь числом цифр).
Определим процесс генерации всех чисел как двухэтапное дерево принятия решения "какую цифру взять следующей". В этом дереве решения принимаются попеременно насчёт следующей цифры в левой части и насчёт следующей цифры в правой части: правило D.D последовательно раскрывается то как (DD).D, то как D.(DD), генеря соответственно на каждом шаге новую цифру либо слева, либо срава. Для двоичной СС (алфавит t -> 0 | 1) имеем на старте леса 4 корня:
0.0, 0.1, 1.0, 1.1
от каждого на шаге первого типа (назовём тип L) получаем по новой цифре слева (сгруппированы по родителям):
# (0.0 -> 00.0, 10.0), ...
(00.0, 10.0), (00.1, 10.1), (01.0, 11.0), (01.1, 11.1)
# Надо полагать, если поиграться немного с определениями — можно и лексикографический порядок получить.
далее делаем шаг типа R, получая цифры справа (вложенная группировка показана):
# ((00.0 -> 00.00, 00.01), ...)
((00.00, 00.01), (10.00, 10.01)), ((00.10, 00.11), (10.10, 10.11)),
((01.00, 01.01), (11.00, 11.01)), ((01.10, 01.11), (11.10, 11.11))
Далее повторяем шаг L, потом снова R, и не останавливаемся.
Видно, что на каждом шаге левый лист в каждой паре семантически эквивалентен своему родителю; но он не избыточен — он позволяет перебирать все числа, чередуя шаги L и R.
Можно показать, что процесс создаёт континуум — между двумя точками надолго не спрячешься, процесс настигнет; хотя между двумя точками всегда бесконечно много точек.
Теперь терминологический финт ушами:
То, что принято называть "иррациональными числами" — это не числа вообще. Это бесконечные процессы. А рациональные числа — это моментальные слепки этих процессов. Иррациональные "числа", таким образом, включают в себя время. А (рациональные) числа — это понятия, существующие вне времени.
Надо полагать, что-то такое и называется "бесконечнопорождающими".
Как после этого быть с иррациональными алгебраическими числами, и прочими трансцендетнтыми корнями? Да просто — признать, что точных решений в (рациональных) числах у некоторых задач нет, есть только а) приблизительные решения и б) иногда — решение-показанное-через-процесс.
Не то чтобы я тут что-то новое сказал — просто показал разницу между диофантовыми уравнениями и остальными, как она уже чёрти сколько раз была показана.
Но меня не отпускает ощущение, что я перечислил не просто все рациональные числа, а в каком-то смысле все числа вообще, и что если что-то от перечисления скрылось — то это не число и было. А раз так, то именованные сущности в математике, за пределами аксиоматических объектов — это всё либо (бесконечные) процессы, либо слепки таких процессов в некий момент времени (что можно тоже обозвать процессом, просто его "хвост" (или "хвосты") загрубили нулями).
Так почему же Кантор не смог перечислить все точки? Вроде же вещественное число — всегда точка, и вышеописанная процедура все точки перебирает. Или нет? Или всё-таки иррациональные числа — это не точки, а... "самоуточняющиеся окрестности"?
UPD: по ходу не перечислил потому, что не все мыслимые позиции точки-разделителя генерятся. Но это надо бы проверить. (Проверил — вроде нет, нормально всё)
UPD2: оппачки! дроби, получается, тоже "не числа" — lawlike sequence, простейшие. Ну оно в принципе-то и понятно — даже запись подсказывает, что речь об операции, а не о её результате: 1/3 — число "один" ДЕЛИТЬ на число "три", и подели ещё поди его как следует...
Я окончательно (шучу, промежуточно) ебанулся на почве уточнения терминов. Сначала даже показалось, что удалось перечислить вещественные числа — но, разумеется, показалось. Удалось же показать категорическую разницу между рациональными и иррациональными числами в стиле мультивёрса, аки у Талеба с его птичками.
Определим число как слово в языке, задаваемом грамматикой:
S -> D.D
D -> DD | t
где . — "десятичная" точка, отделяющая целую часть от дробной, t — терминальный символ (цифра), а само число интерпретируется как записанное в позиционной СС с основанием |t| (то бишь числом цифр).
Определим процесс генерации всех чисел как двухэтапное дерево принятия решения "какую цифру взять следующей". В этом дереве решения принимаются попеременно насчёт следующей цифры в левой части и насчёт следующей цифры в правой части: правило D.D последовательно раскрывается то как (DD).D, то как D.(DD), генеря соответственно на каждом шаге новую цифру либо слева, либо срава. Для двоичной СС (алфавит t -> 0 | 1) имеем на старте леса 4 корня:
0.0, 0.1, 1.0, 1.1
от каждого на шаге первого типа (назовём тип L) получаем по новой цифре слева (сгруппированы по родителям):
# (0.0 -> 00.0, 10.0), ...
(00.0, 10.0), (00.1, 10.1), (01.0, 11.0), (01.1, 11.1)
# Надо полагать, если поиграться немного с определениями — можно и лексикографический порядок получить.
далее делаем шаг типа R, получая цифры справа (вложенная группировка показана):
# ((00.0 -> 00.00, 00.01), ...)
((00.00, 00.01), (10.00, 10.01)), ((00.10, 00.11), (10.10, 10.11)),
((01.00, 01.01), (11.00, 11.01)), ((01.10, 01.11), (11.10, 11.11))
Далее повторяем шаг L, потом снова R, и не останавливаемся.
Видно, что на каждом шаге левый лист в каждой паре семантически эквивалентен своему родителю; но он не избыточен — он позволяет перебирать все числа, чередуя шаги L и R.
Можно показать, что процесс создаёт континуум — между двумя точками надолго не спрячешься, процесс настигнет; хотя между двумя точками всегда бесконечно много точек.
Теперь терминологический финт ушами:
То, что принято называть "иррациональными числами" — это не числа вообще. Это бесконечные процессы. А рациональные числа — это моментальные слепки этих процессов. Иррациональные "числа", таким образом, включают в себя время. А (рациональные) числа — это понятия, существующие вне времени.
Надо полагать, что-то такое и называется "бесконечнопорождающими".
Как после этого быть с иррациональными алгебраическими числами, и прочими трансцендетнтыми корнями? Да просто — признать, что точных решений в (рациональных) числах у некоторых задач нет, есть только а) приблизительные решения и б) иногда — решение-показанное-через-процесс.
Не то чтобы я тут что-то новое сказал — просто показал разницу между диофантовыми уравнениями и остальными, как она уже чёрти сколько раз была показана.
Но меня не отпускает ощущение, что я перечислил не просто все рациональные числа, а в каком-то смысле все числа вообще, и что если что-то от перечисления скрылось — то это не число и было. А раз так, то именованные сущности в математике, за пределами аксиоматических объектов — это всё либо (бесконечные) процессы, либо слепки таких процессов в некий момент времени (что можно тоже обозвать процессом, просто его "хвост" (или "хвосты") загрубили нулями).
Так почему же Кантор не смог перечислить все точки? Вроде же вещественное число — всегда точка, и вышеописанная процедура все точки перебирает. Или нет? Или всё-таки иррациональные числа — это не точки, а... "самоуточняющиеся окрестности"?
UPD: по ходу не перечислил потому, что не все мыслимые позиции точки-разделителя генерятся. Но это надо бы проверить. (Проверил — вроде нет, нормально всё)
UPD2: оппачки! дроби, получается, тоже "не числа" — lawlike sequence, простейшие. Ну оно в принципе-то и понятно — даже запись подсказывает, что речь об операции, а не о её результате: 1/3 — число "один" ДЕЛИТЬ на число "три", и подели ещё поди его как следует...
UPD: Brouwer's choice sequences. Or at least close.
I finally (just kidding, in between) fucked up on the basis of clarification of terms. At first, it even seemed that it was possible to list real numbers - but, of course, it seemed. It was possible to show a categorical difference between rational and irrational numbers in the style of a multiverse, like Taleb with his birds.
We define a number as a word in the language given by the grammar:
S -> D.D
D -> DD | t
where. Is the “decimal” point separating the integer part from the fractional one, t is the terminal symbol (digit), and the number itself is interpreted as written in the positional SS with the base | t | (that is, the number of digits).
We define the process of generating all numbers as a two-stage decision tree "what figure to take next." In this tree, decisions are made alternately about the next digit on the left and about the next digit on the right: the DD rule is sequentially opened as (DD) .D, then D. (DD), the genera, respectively, at each step, a new digit or on the left, either srava. For a binary SS (alphabet t -> 0 | 1) we have 4 roots at the start of the forest:
0.0, 0.1, 1.0, 1.1
from each step of the first type (let's call type L) we get a new digit on the left (grouped by parent):
# (0.0 -> 00.0, 10.0), ...
(00.0, 10.0), (00.1, 10.1), (01.0, 11.0), (01.1, 11.1)
# Presumably, if you play around a little with definitions, you can get a lexicographic order.
then we take a step of type R, getting the numbers on the right (the nested grouping is shown):
# ((00.0 -> 00.00, 00.01), ...)
((00.00, 00.01), (10.00, 10.01)), ((00.10, 00.11), (10.10, 10.11)),
((01.00, 01.01), (11.00, 11.01)), ((01.10, 01.11), (11.10, 11.11))
Next, repeat step L, then again R, and do not stop.
It can be seen that at each step the left sheet in each pair is semantically equivalent to its parent; but it is not redundant - it allows you to iterate over all numbers, alternating steps L and R.
It can be shown that the process creates a continuum - between two points you can’t hide for a long time, the process will overtake; although there are always infinitely many points between two points.
Now the terminological feint with your ears:
What is commonly called "irrational numbers" are not numbers at all. These are endless processes. And rational numbers are instant casts of these processes. Irrational "numbers" thus include time. And (rational) numbers are concepts that exist outside of time.
Presumably, something like this is called "infinitely generating."
How then to be with irrational algebraic numbers, and other transcendental roots? Yes, it’s simple to admit that some problems do not have exact solutions in (rational) numbers, there are only a) approximate solutions and b) sometimes a solution-shown-through-process.
Not that I said something new here - I just showed the difference between the Diophantine equations and the rest, as it had been shown how many times.
But the feeling that I enumerated not just all rational numbers, but in a sense all the numbers in general, and that if something was hidden from the enumeration, it wasn’t a number, didn’t let me down. And if so, then the named entities in mathematics, outside the axiomatic objects, are either all (infinite) processes, or casts of such processes at some point in time (which can also be called a process, just its “tail” (or “tails”) zeros).
So why couldn't Cantor list all the points? It seems that a real number is always a point, and the above procedure goes over all the points. Or not? Or is it that irrational numbers are not points, but ... "self-improving neighborhoods"?
UPD: I didn’t list along the way because not all conceivable positions of the separator point are generated. But this should be checked. (Checked - it seems not, everything is fine)
UPD2: opposition! fractions, it turns out, are also "not numbers" - a lawlike sequence, the simplest. Well, it’s basically understandable - even the record suggests that we are talking about the operation, and not about its result: 1/3 - divide the number “one” by the number “three”, and divide it and go it as it should ...
I finally (just kidding, in between) fucked up on the basis of clarification of terms. At first, it even seemed that it was possible to list real numbers - but, of course, it seemed. It was possible to show a categorical difference between rational and irrational numbers in the style of a multiverse, like Taleb with his birds.
We define a number as a word in the language given by the grammar:
S -> D.D
D -> DD | t
where. Is the “decimal” point separating the integer part from the fractional one, t is the terminal symbol (digit), and the number itself is interpreted as written in the positional SS with the base | t | (that is, the number of digits).
We define the process of generating all numbers as a two-stage decision tree "what figure to take next." In this tree, decisions are made alternately about the next digit on the left and about the next digit on the right: the DD rule is sequentially opened as (DD) .D, then D. (DD), the genera, respectively, at each step, a new digit or on the left, either srava. For a binary SS (alphabet t -> 0 | 1) we have 4 roots at the start of the forest:
0.0, 0.1, 1.0, 1.1
from each step of the first type (let's call type L) we get a new digit on the left (grouped by parent):
# (0.0 -> 00.0, 10.0), ...
(00.0, 10.0), (00.1, 10.1), (01.0, 11.0), (01.1, 11.1)
# Presumably, if you play around a little with definitions, you can get a lexicographic order.
then we take a step of type R, getting the numbers on the right (the nested grouping is shown):
# ((00.0 -> 00.00, 00.01), ...)
((00.00, 00.01), (10.00, 10.01)), ((00.10, 00.11), (10.10, 10.11)),
((01.00, 01.01), (11.00, 11.01)), ((01.10, 01.11), (11.10, 11.11))
Next, repeat step L, then again R, and do not stop.
It can be seen that at each step the left sheet in each pair is semantically equivalent to its parent; but it is not redundant - it allows you to iterate over all numbers, alternating steps L and R.
It can be shown that the process creates a continuum - between two points you can’t hide for a long time, the process will overtake; although there are always infinitely many points between two points.
Now the terminological feint with your ears:
What is commonly called "irrational numbers" are not numbers at all. These are endless processes. And rational numbers are instant casts of these processes. Irrational "numbers" thus include time. And (rational) numbers are concepts that exist outside of time.
Presumably, something like this is called "infinitely generating."
How then to be with irrational algebraic numbers, and other transcendental roots? Yes, it’s simple to admit that some problems do not have exact solutions in (rational) numbers, there are only a) approximate solutions and b) sometimes a solution-shown-through-process.
Not that I said something new here - I just showed the difference between the Diophantine equations and the rest, as it had been shown how many times.
But the feeling that I enumerated not just all rational numbers, but in a sense all the numbers in general, and that if something was hidden from the enumeration, it wasn’t a number, didn’t let me down. And if so, then the named entities in mathematics, outside the axiomatic objects, are either all (infinite) processes, or casts of such processes at some point in time (which can also be called a process, just its “tail” (or “tails”) zeros).
So why couldn't Cantor list all the points? It seems that a real number is always a point, and the above procedure goes over all the points. Or not? Or is it that irrational numbers are not points, but ... "self-improving neighborhoods"?
UPD: I didn’t list along the way because not all conceivable positions of the separator point are generated. But this should be checked. (Checked - it seems not, everything is fine)
UPD2: opposition! fractions, it turns out, are also "not numbers" - a lawlike sequence, the simplest. Well, it’s basically understandable - even the record suggests that we are talking about the operation, and not about its result: 1/3 - divide the number “one” by the number “three”, and divide it and go it as it should ...
У записи 2 лайков,
0 репостов,
383 просмотров.
0 репостов,
383 просмотров.
Эту запись оставил(а) на своей стене Key-G B-Tee
