Как выпуклый геометр доказывает, что отрезок несчётен.
Лемма. На границе ограниченного замкнутого выпуклого множества на плоскости (с непустой внутренностью) есть точка, в которой опорная прямая единственная.
Доказательство. Годится точка, ближайшая к любой внутренней.
Теперь пусть r_1,r_2,... - все точки отрезка [0,1]. Рассмотрим непрерывную выпуклую функцию на [0,1], равную 0 в концах:
f(x)=sum_n max((r_n-1)x,r_n(x-1))/2^n.
Множество точек, лежащих между графиками функций f и -f, не удовлетворяет условию леммы, поскольку в каждой точке интервала правая производная функции f строго больше левой, а в концах производная конечна.
Лемма. На границе ограниченного замкнутого выпуклого множества на плоскости (с непустой внутренностью) есть точка, в которой опорная прямая единственная.
Доказательство. Годится точка, ближайшая к любой внутренней.
Теперь пусть r_1,r_2,... - все точки отрезка [0,1]. Рассмотрим непрерывную выпуклую функцию на [0,1], равную 0 в концах:
f(x)=sum_n max((r_n-1)x,r_n(x-1))/2^n.
Множество точек, лежащих между графиками функций f и -f, не удовлетворяет условию леммы, поскольку в каждой точке интервала правая производная функции f строго больше левой, а в концах производная конечна.
How a convex geometer proves that a segment is uncountable.
Lemma. On the boundary of a bounded closed convex set in the plane (with a nonempty interior) there is a point at which the support line is unique.
Evidence. The point closest to any inside is good.
Now let r_1, r_2, ... be all points of the segment [0,1]. Consider a continuous convex function on [0,1], equal to 0 at the ends:
f (x) = sum_n max ((r_n-1) x, r_n (x-1)) / 2 ^ n.
The set of points lying between the graphs of the functions f and -f does not satisfy the condition of the lemma, since at each point of the interval the right derivative of f is strictly greater than the left, and at the ends the derivative is finite.
Lemma. On the boundary of a bounded closed convex set in the plane (with a nonempty interior) there is a point at which the support line is unique.
Evidence. The point closest to any inside is good.
Now let r_1, r_2, ... be all points of the segment [0,1]. Consider a continuous convex function on [0,1], equal to 0 at the ends:
f (x) = sum_n max ((r_n-1) x, r_n (x-1)) / 2 ^ n.
The set of points lying between the graphs of the functions f and -f does not satisfy the condition of the lemma, since at each point of the interval the right derivative of f is strictly greater than the left, and at the ends the derivative is finite.
У записи 8 лайков,
0 репостов.
0 репостов.
Эту запись оставил(а) на своей стене Фёдор Петров
