Для экономистов: обещанная цитата https://math.stackexchange.com/a/2237554/
----------------------
Examples examples examples. For me, pretty much all of mathematics is driven visually and by example.
Every time you see a theorem, first seriously commit yourself to finding a counter example. Find almost-counterexamples that show why every assumption in the problem is necessary. Then for each of those almost-counterexamples find an example that is extremely similar, except satisfies the assumption the counterexample was missing. Now you're ready to prove the theorem or read its proof, and in all likelihood you're already close to the proof.
There's a famous story about this process, I think about a theorem of Diophantus that concludes with the teller saying that the subject of the story had garnered a greater grasp of the theorem in an hour than the story teller had in his entire life, but I don't recall enough details to find it on google.
Doing mathematics by example has taught me how to feel the shape of a theorem, to naturally divide mathematical objects into collections based on how the theorem divides them into "examples" and "non-examples" and those lines that the theorem draw shows you how to prove the theorem. This will also massively help you recreate the proof in the future.
Thinking about the theorem from the "wrong direction" will teach you to think in unusual ways help you falsify conjectures and assumptions easier. People have a strong bias towards looking for confirmation of facts, but struggle to remember to look for disconfirmation. This can make it hard to understand theorems, because ℤ[√−5] tells you a hell of a lot more about the nature of prime factorization than ℤ does. There's a famous story about Wittgenstein (source) as follows:
Tell me," Wittgenstein's asked a friend, "why do people always say, it was natural for man to assume that the sun went round the earth rather than that the earth was rotating?"
His friend replied, "Well, obviously because it just looks as though the Sun is going round the Earth."
Wittgenstein replied, "Well, what would it have looked like if it had looked as though the Earth was rotating?
----------------------
Examples examples examples. For me, pretty much all of mathematics is driven visually and by example.
Every time you see a theorem, first seriously commit yourself to finding a counter example. Find almost-counterexamples that show why every assumption in the problem is necessary. Then for each of those almost-counterexamples find an example that is extremely similar, except satisfies the assumption the counterexample was missing. Now you're ready to prove the theorem or read its proof, and in all likelihood you're already close to the proof.
There's a famous story about this process, I think about a theorem of Diophantus that concludes with the teller saying that the subject of the story had garnered a greater grasp of the theorem in an hour than the story teller had in his entire life, but I don't recall enough details to find it on google.
Doing mathematics by example has taught me how to feel the shape of a theorem, to naturally divide mathematical objects into collections based on how the theorem divides them into "examples" and "non-examples" and those lines that the theorem draw shows you how to prove the theorem. This will also massively help you recreate the proof in the future.
Thinking about the theorem from the "wrong direction" will teach you to think in unusual ways help you falsify conjectures and assumptions easier. People have a strong bias towards looking for confirmation of facts, but struggle to remember to look for disconfirmation. This can make it hard to understand theorems, because ℤ[√−5] tells you a hell of a lot more about the nature of prime factorization than ℤ does. There's a famous story about Wittgenstein (source) as follows:
Tell me," Wittgenstein's asked a friend, "why do people always say, it was natural for man to assume that the sun went round the earth rather than that the earth was rotating?"
His friend replied, "Well, obviously because it just looks as though the Sun is going round the Earth."
Wittgenstein replied, "Well, what would it have looked like if it had looked as though the Earth was rotating?
Для экономистов: обещанная цитата https://math.stackexchange.com/a/2237554/
----------------------
Примеры примеры примеров. Для меня почти вся математика движется визуально и на примере.
Каждый раз, когда вы видите теорему, сначала всерьез посвятите себя поиску контрпримера Найдите почти контрпримеры, которые показывают, почему каждое предположение в задаче необходимо. Затем для каждого из этих почти контрпримеров найдите пример, который чрезвычайно похож, за исключением того, что удовлетворяет предположению, что контрпример отсутствовал. Теперь вы готовы доказать теорему или прочитать ее доказательство, и, по всей вероятности, вы уже близки к доказательству.
Есть известная история об этом процессе, я думаю о теореме Диофанта, которая заканчивается тем, что рассказчик говорит, что предмет истории получил большее понимание теоремы за час, чем рассказчик истории за всю свою жизнь, но я не помню достаточно деталей, чтобы найти его в Google.
Делая математику на примере, я научился чувствовать форму теоремы, естественно разделить математические объекты на коллекции на основе того, как теорема делит их на «примеры» и «не примеры», и те линии, которые рисует теорема, показывают вам, как доказать теорему. Это также в значительной степени поможет вам восстановить доказательства в будущем.
Размышление о теореме с «неправильного направления» научит вас мыслить необычными способами, помогая вам легче подделать предположения и предположения. Люди имеют сильный уклон к поиску подтверждения фактов, но изо всех сил пытаются вспомнить, чтобы искать подтверждение. Это может затруднить понимание теорем, потому что ℤ [√ − 5] рассказывает вам намного больше о природе простой факторизации, чем ℤ. Существует известная история о Витгенштейне (источник):
Скажите мне, - спросил Витгенштейн друга, - почему люди всегда говорят, что для человека было естественно предположить, что солнце вращается вокруг земли, а не вращается?
Его друг ответил: «Ну, очевидно, потому что это выглядит так, как будто Солнце вращается вокруг Земли».
Витгенштейн ответил: «Ну, как бы это выглядело, если бы выглядело так, как будто Земля вращается?
----------------------
Примеры примеры примеров. Для меня почти вся математика движется визуально и на примере.
Каждый раз, когда вы видите теорему, сначала всерьез посвятите себя поиску контрпримера Найдите почти контрпримеры, которые показывают, почему каждое предположение в задаче необходимо. Затем для каждого из этих почти контрпримеров найдите пример, который чрезвычайно похож, за исключением того, что удовлетворяет предположению, что контрпример отсутствовал. Теперь вы готовы доказать теорему или прочитать ее доказательство, и, по всей вероятности, вы уже близки к доказательству.
Есть известная история об этом процессе, я думаю о теореме Диофанта, которая заканчивается тем, что рассказчик говорит, что предмет истории получил большее понимание теоремы за час, чем рассказчик истории за всю свою жизнь, но я не помню достаточно деталей, чтобы найти его в Google.
Делая математику на примере, я научился чувствовать форму теоремы, естественно разделить математические объекты на коллекции на основе того, как теорема делит их на «примеры» и «не примеры», и те линии, которые рисует теорема, показывают вам, как доказать теорему. Это также в значительной степени поможет вам восстановить доказательства в будущем.
Размышление о теореме с «неправильного направления» научит вас мыслить необычными способами, помогая вам легче подделать предположения и предположения. Люди имеют сильный уклон к поиску подтверждения фактов, но изо всех сил пытаются вспомнить, чтобы искать подтверждение. Это может затруднить понимание теорем, потому что ℤ [√ − 5] рассказывает вам намного больше о природе простой факторизации, чем ℤ. Существует известная история о Витгенштейне (источник):
Скажите мне, - спросил Витгенштейн друга, - почему люди всегда говорят, что для человека было естественно предположить, что солнце вращается вокруг земли, а не вращается?
Его друг ответил: «Ну, очевидно, потому что это выглядит так, как будто Солнце вращается вокруг Земли».
Витгенштейн ответил: «Ну, как бы это выглядело, если бы выглядело так, как будто Земля вращается?
У записи 13 лайков,
2 репостов,
1580 просмотров.
2 репостов,
1580 просмотров.
Эту запись оставил(а) на своей стене Наталья Чернова
