Что мне нравится в решении геометрии, так это восхитительность того, как уравнения могут думать за нас. Смотрите.
Дан треугольник ABC, AB=15, BC=18, AC=12. На стороне BC выбрана точка M такая, что CM=8, MB=10.
Требуется найти длину отрезка AM.
Можно решить эту задачу через теорему косинусов, и получить один ответ: \sqrt{109}.
Но мой ученик решил воспользоваться формулой Герона: посчитал площадь всего треугольника, через отношение выразил площадь треугольника AMB, после чего написал Герона для этого треугольника и решил получившееся биквадратное уравнение. Получилось 4 корня, два из которых, понятное дело, отрицательны и нам не подходят, один из них равен \sqrt{109}, который, собственно, ответ, и еще \sqrt{379}. Ясно, что \sqrt{379} не подходит, такой отрезок просто не влезет в треугольник. Но ведь уравнение ПОЧЕМУ-ТО нам его выдало! И вот этот момент мне нравится больше всего: выяснять, почему уравнение подумало за нас и выдало еще один корень. Какую информацию имеем мы, и не имеет уравнение, раз оно считает, что это число тоже подходит?
#задача #геометрия #вопрос
Дан треугольник ABC, AB=15, BC=18, AC=12. На стороне BC выбрана точка M такая, что CM=8, MB=10.
Требуется найти длину отрезка AM.
Можно решить эту задачу через теорему косинусов, и получить один ответ: \sqrt{109}.
Но мой ученик решил воспользоваться формулой Герона: посчитал площадь всего треугольника, через отношение выразил площадь треугольника AMB, после чего написал Герона для этого треугольника и решил получившееся биквадратное уравнение. Получилось 4 корня, два из которых, понятное дело, отрицательны и нам не подходят, один из них равен \sqrt{109}, который, собственно, ответ, и еще \sqrt{379}. Ясно, что \sqrt{379} не подходит, такой отрезок просто не влезет в треугольник. Но ведь уравнение ПОЧЕМУ-ТО нам его выдало! И вот этот момент мне нравится больше всего: выяснять, почему уравнение подумало за нас и выдало еще один корень. Какую информацию имеем мы, и не имеет уравнение, раз оно считает, что это число тоже подходит?
#задача #геометрия #вопрос
What I like about solving geometry is the delight of how equations can think for us. See it.
Given a triangle ABC, AB = 15, BC = 18, AC = 12. On the BC side, a point M is chosen such that CM = 8, MB = 10.
It is required to find the length of the segment AM.
You can solve this problem through the cosine theorem, and get one answer: \ sqrt {109}.
But my student decided to use the Gerona formula: calculated the area of the entire triangle, expressed the AMB area of the triangle using the ratio, and then wrote Gerona for this triangle and decided the resulting biquadratic equation. It turned out 4 roots, two of which, understandably, are negative and do not suit us, one of them is equal to \ sqrt {109}, which is, in fact, the answer, and another \ sqrt {379}. It is clear that \ sqrt {379} does not fit, such a segment simply does not fit into the triangle. But the equation why it gave us something! And this moment I like the most: to find out why the equation thought for us and gave another root. What information do we have, and does not have an equation, since it considers that this number is also appropriate?
# task # geometry # question
Given a triangle ABC, AB = 15, BC = 18, AC = 12. On the BC side, a point M is chosen such that CM = 8, MB = 10.
It is required to find the length of the segment AM.
You can solve this problem through the cosine theorem, and get one answer: \ sqrt {109}.
But my student decided to use the Gerona formula: calculated the area of the entire triangle, expressed the AMB area of the triangle using the ratio, and then wrote Gerona for this triangle and decided the resulting biquadratic equation. It turned out 4 roots, two of which, understandably, are negative and do not suit us, one of them is equal to \ sqrt {109}, which is, in fact, the answer, and another \ sqrt {379}. It is clear that \ sqrt {379} does not fit, such a segment simply does not fit into the triangle. But the equation why it gave us something! And this moment I like the most: to find out why the equation thought for us and gave another root. What information do we have, and does not have an equation, since it considers that this number is also appropriate?
# task # geometry # question
У записи 1 лайков,
0 репостов,
358 просмотров.
0 репостов,
358 просмотров.
Эту запись оставил(а) на своей стене Нина Ягодная
