Коктейль «рекурсивный»: 30% воды, 20% спирта, 50% коктейля «рекурсивный»
Да, коктейль "рекурсивный" - это водка, причем неважно, что мы взяли на первом этапе (итерации) приготовления этого коктейля: чистую воду, чистый спирт или какую-либо их смесь. В пределе всё равно получится водка. Одно из доказательств следующее.
Запишем рецепт коктейля "рекурсивный" собственно в виде рекуррентной формулы:
x(n+1) = 0.5*x(n) + 0.2, (1)
где x(n) и x(n+1) - крепость коктейля на n-ом и (n+1)ом шагах соответственно.
Предположим, что эта последовательность задаёт метод Ньютона (также известный как метод касательных) для решения некоего уравнения y(x) = 0. Найдём это уравнение. Метод Ньютона задаётся следующей последовательностью:
x(n+1) = x(n) - y(x(n))/y'(x(n)) (2)
Приравняв формулы (1) и (2), получим:
0.5*x(n) + 0.2 = x(n) - y(x(n))/y'(x(n)) (3)
Заменив x(n) на x и решив полученное дифференциальное уравнение, найдём y(x):
y(x) = C*(2 - 5*x)^2 (4)
Итак, крепость коктейля "рекурсивный" стремится к корню уравнения y(x) = C*(2 - 5*x)^2 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее единственный корень x = 0.4 (крепость - 40 градусов). Кроме того, y(x) выпукла на всём множестве вещественных чисел, следовательно метод Ньютона для уравнения y(x) = 0 всегда сходится, независимо от выбора начального приближения. Таким образом, коктейль "рекурсивный" всегда стремится к водке, что и требовалось доказать.
Да, коктейль "рекурсивный" - это водка, причем неважно, что мы взяли на первом этапе (итерации) приготовления этого коктейля: чистую воду, чистый спирт или какую-либо их смесь. В пределе всё равно получится водка. Одно из доказательств следующее.
Запишем рецепт коктейля "рекурсивный" собственно в виде рекуррентной формулы:
x(n+1) = 0.5*x(n) + 0.2, (1)
где x(n) и x(n+1) - крепость коктейля на n-ом и (n+1)ом шагах соответственно.
Предположим, что эта последовательность задаёт метод Ньютона (также известный как метод касательных) для решения некоего уравнения y(x) = 0. Найдём это уравнение. Метод Ньютона задаётся следующей последовательностью:
x(n+1) = x(n) - y(x(n))/y'(x(n)) (2)
Приравняв формулы (1) и (2), получим:
0.5*x(n) + 0.2 = x(n) - y(x(n))/y'(x(n)) (3)
Заменив x(n) на x и решив полученное дифференциальное уравнение, найдём y(x):
y(x) = C*(2 - 5*x)^2 (4)
Итак, крепость коктейля "рекурсивный" стремится к корню уравнения y(x) = C*(2 - 5*x)^2 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее единственный корень x = 0.4 (крепость - 40 градусов). Кроме того, y(x) выпукла на всём множестве вещественных чисел, следовательно метод Ньютона для уравнения y(x) = 0 всегда сходится, независимо от выбора начального приближения. Таким образом, коктейль "рекурсивный" всегда стремится к водке, что и требовалось доказать.
Recursive cocktail: 30% water, 20% alcohol, 50% recursive cocktail
Yes, a recursive cocktail is vodka, and it doesn’t matter what we took at the first stage (iteration) of preparing this cocktail: pure water, pure alcohol, or some mixture of them. In the limit, you still get vodka. One evidence is as follows.
Let us write the recursive cocktail recipe in the form of a recursive formula:
x (n + 1) = 0.5 * x (n) + 0.2, (1)
where x (n) and x (n + 1) are the strength of the cocktail at the nth and (n + 1) th steps, respectively.
Suppose that this sequence defines the Newton method (also known as the tangent method) for solving a certain equation y (x) = 0. Find this equation. Newton's method is given by the following sequence:
x (n + 1) = x (n) - y (x (n)) / y '(x (n)) (2)
Equating formulas (1) and (2), we obtain:
0.5 * x (n) + 0.2 = x (n) - y (x (n)) / y '(x (n)) (3)
Replacing x (n) with x and solving the resulting differential equation, we find y (x):
y (x) = C * (2 - 5 * x) ^ 2 (4)
So, the recursive strength of the cocktail tends to the root of the equation y (x) = C * (2 - 5 * x) ^ 2 = 0. This is a quadratic equation with a single root x = 0.4 (strength - 40 degrees). In addition, y (x) is convex on the whole set of real numbers; therefore, the Newton method for the equation y (x) = 0 always converges, regardless of the choice of the initial approximation. Thus, the recursive cocktail always strives for vodka, which was to be proved.
Yes, a recursive cocktail is vodka, and it doesn’t matter what we took at the first stage (iteration) of preparing this cocktail: pure water, pure alcohol, or some mixture of them. In the limit, you still get vodka. One evidence is as follows.
Let us write the recursive cocktail recipe in the form of a recursive formula:
x (n + 1) = 0.5 * x (n) + 0.2, (1)
where x (n) and x (n + 1) are the strength of the cocktail at the nth and (n + 1) th steps, respectively.
Suppose that this sequence defines the Newton method (also known as the tangent method) for solving a certain equation y (x) = 0. Find this equation. Newton's method is given by the following sequence:
x (n + 1) = x (n) - y (x (n)) / y '(x (n)) (2)
Equating formulas (1) and (2), we obtain:
0.5 * x (n) + 0.2 = x (n) - y (x (n)) / y '(x (n)) (3)
Replacing x (n) with x and solving the resulting differential equation, we find y (x):
y (x) = C * (2 - 5 * x) ^ 2 (4)
So, the recursive strength of the cocktail tends to the root of the equation y (x) = C * (2 - 5 * x) ^ 2 = 0. This is a quadratic equation with a single root x = 0.4 (strength - 40 degrees). In addition, y (x) is convex on the whole set of real numbers; therefore, the Newton method for the equation y (x) = 0 always converges, regardless of the choice of the initial approximation. Thus, the recursive cocktail always strives for vodka, which was to be proved.
У записи 22 лайков,
5 репостов.
5 репостов.
Эту запись оставил(а) на своей стене Михаил Чумаков
![Михаил Кожевников [Qnan]](https://pp.userapi.com/c304107/v304107093/8bbb/VaNWo6E-0r4.jpg "Михаил Кожевников [Qnan]")
